Skoða frumkóða fyrir Ójafna Chebyshevs

'''Ójafna Chebyshevs''' er ójafna í [[líkindafræði]] sem segir að í [[slembibreytur|líkindadreifingum]] eða [[úrtak|úrtökum]] eru næstum öll gildi nálægt meðaltalinu. Til dæmis eru aldrei fleiri en 1/4 gildanna í meiri en 2 [[staðalfrávik]]a fjarlægð frá [[meðaltal]]inu, og aldrei meira en 1/9 gildanna í meira en 3 staðalfrávika fjarlægð.

Ójafnan er nefnd eftir [[Pafnuty Chebyshev]], sem sannaði hana fyrstur manna. 

Ójafna Chebyshevs er mikið notuð í ályktunar[[tölfræði]], þá sér í lagi í tengslum við [[normaldreifing]]ar. Þar gildir að 95% staka eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu.

== Ójafnan ==
Látum <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> vera [[líkindarúm]] og <math>X</math> vera [[slembibreyta|slembibreytu]]. Þá gildir:
:<math>P(|\textrm{E}(X) - X| > \epsilon) < \frac{\textrm{Var}(X)}{\epsilon^2}\quad;\quad\epsilon > 0</math>
Þar sem að E(X) táknar [[væntigildi]]ð á X, og Var(X) táknar dreifni þess.

== Einföld sönnun ==
Ein af einföldustu sönnunum á ójöfnu Chebyshevs notast við [[Ójafna Markovs|ójöfnu Markovs]]:
:Ef <math>P(X \ge 0) = 1</math> gildir að <math>P(X > \alpha) \le \frac{\textrm{E}(X)}{\alpha}\quad;\quad\alpha > 0</math>

Sönnum að ójafna Chebyshevs gildi fyrir slembibreytuna X. Setjum fyrst <math>Y = (X - \textrm{E}(X))^2</math>. Þá er Y [[slembibreyta]]. Þá gildir að [[væntigildi]]ð á Y er <math>\textrm{E}(Y) = \textrm{E}((X - \textrm{E}(X))^2) = \textrm{Var}(X)</math>.

Þá er sönnunin einföld:
:<math>P(|X - \textrm{E}(X)| > \epsilon) = P(Y > \epsilon^2)</math>
::sem samkvæmt ójöfnu Markovs gefur:
:<math>P(Y > \epsilon^2) \le \frac{\textrm{E}(Y)}{\epsilon^2}</math>

Sem er ójafna Chebyshevs ef skipt er út E(Y) fyrir Var(X) og <math>Y > \epsilon^2</math> fyrir <math>X > \epsilon</math>.

== Tengt efni==
* [[Ójafna Markovs]]

[[Flokkur:Líkindafræði]]