Skoða frumkóða fyrir Hjólferill

[[Mynd:CycloidAnim04.gif|thumb|400px|Hjólferill.]]
'''Hjólferill''' ('''cýklóða''') er sá [[ferill]] sem fastur punktur á [[Hringur (rúmfræði)|hring]] þræðir þegar hringurinn veltur eftir beinni línu án þess að renna til. Þetta er fræg tegund [[veltiferill|veltiferils]] þar sem ferillinn er lausn á vandamáli sem [[Johann Bernoulli]] setti fram [[1696]] er nefnist [[Brachistochrone vandamálið]].

== Lýsing á ferlinum ==
[[Mynd:Definitions for a cycloid.png|thumb|400px|Q er miðja hrings, P er punkturinn sem myndar ferilinn og A er skurðpunktur hrings og x-ás.]]
Látum ''Q'' vera miðju hjólsins og radíus þess ''r''. Köllum fastan punkt á hjólinu ''P'' og látum ''A'' vera skurðpunkt hjólsins og línunnar á hverjum tíma. Hornið <math>\angle PQA</math> köllum við θ.
Hjólferill sem hefst í núllpunkti hnitakerfis, þ.e. með P = (0,0) í upphafi, getum við lýst með eftirfarandi stika:

:<math>x = r(\theta - \sin \theta)\,</math>

:<math>y = r(1 - \cos \theta)\,</math>
θr gefur x-hnit miðju hjólsins og er jafnframt fjarlægðin frá A til (0,0).

Ferillinn er diffranlegur alls staðar nema í broddunum þar sem ferillinn snertir línuna (x-ásinn). Þetta má auðveldlega sjá með því að diffra hvora jöfnuna fyrir sig í punktinum (2πr,0), það gefur núll.

=== Bogamál ===
Bogamál ferilsins má finna með því að finna lengdina á fyrstu afleiðu vigurfallsins og heilda hana.
:<math>(1) \binom{r(\theta-sin\theta)}{r(1-cos\theta)}'= \binom{r(1-cos\theta)}{rsin\theta}</math>
:<math>(2) \left \| \binom{r(1-cos\theta)}{rsin\theta} \right \| = \sqrt{(r(1-cos\theta))^2 + (rsin\theta)^2} = 2r\left |sin(\frac{\theta}{2})\right |</math>
:<math>(3)\int_{0}^{2\pi} 2r \left |sin(\frac{\theta}{2})\right | d\theta = 4r \left [-cos(\frac{\theta}{2}) \right ]_0^{2\pi} = 8r</math>

Þegar hjólið veltur einn hring (2π) fer P eftir hjólferil sem er nákvæmlega ''8r'' að lengd (þar sem ''r'' er radíus hjólsins).

[[Flokkur:Stærðfræði]]