Skoða frumkóða fyrir Lokað mengi

'''Lokað mengi''' er [[mengi]] sem inniheldur alla [[jaðarpunktur|jaðarpunkta]] sína. [[Fyllimengi]] lokaðs mengis er [[opið mengi]]. Mengi geta verið bæði opin og lokuð, eða hvorki opið né lokað. [[Grunnmengi]] eru til dæmis bæði opin og lokuð, og mengi sem inniheldur suma, en ekki alla jaðarpunkta sína er hvorugt.

Eftirfarandi skilgreining er jafngild fyrir mengi í firðrúmi. Mengi ''X'' er lokað [[þá og því aðeins að]] [[markgildi]] sérhverrar [[samleitni|samleitinnar]] [[runa|runu]] af [[stak|stökum]] í menginu sé í menginu sjálfu. [[Sniðmengi]] lokaðra mengja er lokað. Endanlegt [[sammengi]] lokaðra mengja er lokað.

Mengi getur einnig verði ''lokað'' m.t.t. [[aðgerð (stærðfræði)|reikniaðgerðar]], sem þýðir að útkoman sé einnig stak í menginu. Dæmi: Mengi [[heiltala|heiltalna]] er lokað m.t.t. [[samlagning]]ar, [[margföldun]]ar og [[frádráttur|frádráttar]], en mengi [[náttúrleg tala|nátturlegra talna]] er aðeins lokað m.t.t. samlagningar og margföldunar, en ekki frádáttar.

== Lokun mengis ==
''Lokun mengis'' á við [[Aðgerð (stærðfræði)|aðgerðina]] að mynda [[sammengi]] úr [[innmengi]] og [[jaðar|jaðri]]s þess mengis, sem skv. skilgreiningu verðu lokað mengi, t.d. er lokun mengis ''A'' gjarnan táknuð með yfirstrikun eða stöfunum ''cl'':

:<math>\mathrm{cl}(A) = \bar A = A \cup \partial A .</math>

== Dæmi ==
* Lokaða rauntalnabilið <math>[a,b]</math> fyrir <math>a \leq b</math> er lokað mengi því [[fyllimengi]] þess er [[opið mengi|opið]]. (Það þarf að sjálfsögðu að sýna).
* [[Endanlegt]] mengi er lokað. Látum <math>X = \{ x_1, x_2, \dots, x_m \} \subseteq M</math> fyrir eitthvað mengi <math>M</math> vera slíkt mengi, og <math>(a_n)_{n=1}^\infty = (a_1, a_2, ...)</math> vera [[óendanleiki|óendanlega]] samleitna runu af stökum í <math>X</math> sem stefnir á <math>a \in M</math>. Við viljum sýna að þá sé <math>a \in X</math>. Það er runan er samleitin gildir samkvæmt skilgreiningu að fyrir sérhvert <math>\varepsilon > 0</math> má finna <math>N</math> þannig að <math>|a_n - a| < \varepsilon</math> fyrir sérhvert <math>n \geq N</math>. Með öðrum orðum mun runan á endanum vera hversu nálægt [[markgildi]] sínu sem vera skal. (Hér gerum við ráð fyrir að við séum að vinna með [[rauntala|rauntölur]], en samleitnihugtakið má alhæfa fyrir hvaða [[firð]] sem er). Við setjum <math>\varepsilon = \min_{1 \leq i \leq m} |x_i - a|</math>, þ.e. minnsta fjarlægð staks í <math>X</math> til <math>a</math>. Ef <math>\varepsilon = 0</math> þá er einhver liður í rununni jafn <math>a</math> og <math>a</math> því í <math>X</math>, svo við gerum ráð fyrir að <math>\varepsilon > 0</math>. Eins og áður var sagt er nú til <math>N</math> þannig að <math>|a_n - a| < \varepsilon</math> fyrir sérhvert <math>n \geq N</math>. En sérhvert <math>a_n</math> er í <math>X</math>, svo þetta myndi þýða að við hefðum fundið stak (eða jafnvel stök) í <math>X</math> sem eru nær <math>a</math> en <math>\varepsilon</math>, en það er mótsögn því <math>\varepsilon</math> er lágmarksfjarlægðin. Því er <math>\varepsilon = 0</math>, svo einhver liður í rununni er jafn <math>a</math> eins og áður sagði, og <math>a</math> er því í <math>X</math>. Þar með er sannað að mengið <math>X</math> er lokað. 
* Mengi [[óræðar tölur|óræðra talna]] er ekki lokað. (Athugið að það þýðir ekki að fyllimengið sé opið). Því ef svo væri þá myndi samleitna runan <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> með <math>a_n = \frac{\pi}{n}</math> fyrir sérhvert <math>n</math> stefna á [[0 (tala)|0]] þegar <math>n</math> stefnir á [[óendanleiki|óendanlegt]] sem er ræð tala, en sérhver liður rununnar er óræð tala. Þetta stangast á við skilgreininguna á lokuðu mengi, og því er mengi óræðra talna ekki lokað.

== Tengt efni ==
* [[Takmarkað mengi]]
* [[Þjappað mengi]]

[[Flokkur:Mengjafræði]]