Skúffuregla Dirichlets

Skúffuregla Dirichlets er regla sem segir að; ef k hlutir eru settir í N skúffur, þar sem k > N (hlutirnir eru fleiri en skúffurnar), þarf að minnsta kosti ein skúffan að innihalda fleiri en einn hlut. Viðfang reglunnar er mikilvægt í talnafræði.

Höfundur þessarrar reglu, G. Lejeune Dirichlet, notaði samlíkingu við dúfur (k) og dúfnaholur (N) og því er reglan kölluð „the pigeonhole principle“ á ensku (einnig þekkt sem „Dirichlet's Box Principle“). Á íslensku hefur myndast sú hefð að kalla þetta skúffureglu.

Almenna skúffureglan er þannig: Ef að k hlutir eru settir í N skúffur, þá er að lágmarki til ein skúffa sem inniheldur $\lceil \frac{k}{N}\rceil$ hluti.

Óbein sönnun

Gerum ráð fyrir því að engin skúffa innihaldi fleiri en $\lceil \frac{k}{N}\rceil -1$ hluti. Þá er samanlagður fjöldi hluta í skúffum lægri en k.

$N(\lceil \frac{k}{N}\rceil -1)<N((\frac{k}{N}+1)-1)=N(\frac{k}{N}+1-1)=k$,

þar sem að ójafnan $\lceil \frac{k}{N}\rceil <(\frac{k}{N}+1)$ er notuð. Þetta er mótsögn: k hlutir voru upphaflega settir í skúffurnar og eru þar enn. Því hlýtur að vera til skúffa sem inniheldur fleiri en $\lceil \frac{k}{N}\rceil -1$ hluti. Sú skúffa inniheldur að lágmarki $\lceil \frac{k}{N}\rceil$ hluti.

Dæmi

Í 100 manna hópi eru að lágmarki $\lceil \frac{100}{12}\rceil =9$ manns sem eiga afmæli í sama mánuði.

Tenglar

• Pigeonhole Principle
• Einföld útskýring á MathWorld