Ójafna Chebyshevs

Ójafna Chebyshevs er ójafna í líkindafræði sem segir að í líkindadreifingum eða úrtökum eru næstum öll gildi nálægt meðaltalinu. Til dæmis eru aldrei fleiri en 1/4 gildanna í meiri en 2 staðalfrávika fjarlægð frá meðaltalinu, og aldrei meira en 1/9 gildanna í meira en 3 staðalfrávika fjarlægð.

Ójafnan er nefnd eftir Pafnuty Chebyshev, sem sannaði hana fyrstur manna.

Ójafna Chebyshevs er mikið notuð í ályktunartölfræði, þá sér í lagi í tengslum við normaldreifingar. Þar gildir að 95% staka eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu.

Ójafnan

Látum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ vera líkindarúm og $X$ vera slembibreytu. Þá gildir:

$P(|\text{E}(X)-X|>ϵ)<\frac{\text{Var}(X)}{{ϵ}^2};ϵ>0$

Þar sem að E(X) táknar væntigildið á X, og Var(X) táknar dreifni þess.

Einföld sönnun

Ein af einföldustu sönnunum á ójöfnu Chebyshevs notast við ójöfnu Markovs:

Ef $P(X\ge 0)=1$ gildir að $P(X>\alpha )\le \frac{\text{E}(X)}{\alpha };\alpha >0$

Sönnum að ójafna Chebyshevs gildi fyrir slembibreytuna X. Setjum fyrst $Y=(X-\text{E}(X){)}^2$. Þá er Y slembibreyta. Þá gildir að væntigildið á Y er $\text{E}(Y)=\text{E}((X-\text{E}(X){)}^2)=\text{Var}(X)$.

Þá er sönnunin einföld:

$P(|X-\text{E}(X)|>ϵ)=P(Y>{ϵ}^2)$

sem samkvæmt ójöfnu Markovs gefur:

$P(Y>{ϵ}^2)\le \frac{\text{E}(Y)}{{ϵ}^2}$

Sem er ójafna Chebyshevs ef skipt er út E(Y) fyrir Var(X) og $Y>{ϵ}^2$ fyrir $X>ϵ$.

Tengt efni

• Ójafna Markovs