Lokað mengi

Lokað mengi er mengi sem inniheldur alla jaðarpunkta sína. Fyllimengi lokaðs mengis er opið mengi. Mengi geta verið bæði opin og lokuð, eða hvorki opið né lokað. Grunnmengi eru til dæmis bæði opin og lokuð, og mengi sem inniheldur suma, en ekki alla jaðarpunkta sína er hvorugt.

Eftirfarandi skilgreining er jafngild fyrir mengi í firðrúmi. Mengi X er lokað þá og því aðeins að markgildi sérhverrar samleitinnar runu af stökum í menginu sé í menginu sjálfu. Sniðmengi lokaðra mengja er lokað. Endanlegt sammengi lokaðra mengja er lokað.

Mengi getur einnig verði lokað m.t.t. reikniaðgerðar, sem þýðir að útkoman sé einnig stak í menginu. Dæmi: Mengi heiltalna er lokað m.t.t. samlagningar, margföldunar og frádráttar, en mengi nátturlegra talna er aðeins lokað m.t.t. samlagningar og margföldunar, en ekki frádáttar.

Lokun mengis

Lokun mengis á við aðgerðina að mynda sammengi úr innmengi og jaðris þess mengis, sem skv. skilgreiningu verðu lokað mengi, t.d. er lokun mengis A gjarnan táknuð með yfirstrikun eða stöfunum cl:

$\mathrm{c}\mathrm{l}(A)=\overline{A}=A\cup \partial A.$

Dæmi

• Lokaða rauntalnabilið $[a,b]$ fyrir $a\le b$ er lokað mengi því fyllimengi þess er opið. (Það þarf að sjálfsögðu að sýna).
• Endanlegt mengi er lokað. Látum $X=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}\subseteq M$ fyrir eitthvað mengi $M$ vera slíkt mengi, og $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=(a_1,a_2,...)$ vera óendanlega samleitna runu af stökum í $X$ sem stefnir á $a\in M$. Við viljum sýna að þá sé $a\in X$. Það er runan er samleitin gildir samkvæmt skilgreiningu að fyrir sérhvert $\epsilon >0$ má finna $N$ þannig að $|a_n-a|<\epsilon$ fyrir sérhvert $n\ge N$. Með öðrum orðum mun runan á endanum vera hversu nálægt markgildi sínu sem vera skal. (Hér gerum við ráð fyrir að við séum að vinna með rauntölur, en samleitnihugtakið má alhæfa fyrir hvaða firð sem er). Við setjum $\epsilon =\underset{1\le i\le m}{\min }|x_i-a|$, þ.e. minnsta fjarlægð staks í $X$ til $a$. Ef $\epsilon =0$ þá er einhver liður í rununni jafn $a$ og $a$ því í $X$, svo við gerum ráð fyrir að $\epsilon >0$. Eins og áður var sagt er nú til $N$ þannig að $|a_n-a|<\epsilon$ fyrir sérhvert $n\ge N$. En sérhvert $a_n$ er í $X$, svo þetta myndi þýða að við hefðum fundið stak (eða jafnvel stök) í $X$ sem eru nær $a$ en $\epsilon$, en það er mótsögn því $\epsilon$ er lágmarksfjarlægðin. Því er $\epsilon =0$, svo einhver liður í rununni er jafn $a$ eins og áður sagði, og $a$ er því í $X$. Þar með er sannað að mengið $X$ er lokað.
• Mengi óræðra talna er ekki lokað. (Athugið að það þýðir ekki að fyllimengið sé opið). Því ef svo væri þá myndi samleitna runan $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ með $a_n=\frac{\pi }{n}$ fyrir sérhvert $n$ stefna á 0 þegar $n$ stefnir á óendanlegt sem er ræð tala, en sérhver liður rununnar er óræð tala. Þetta stangast á við skilgreininguna á lokuðu mengi, og því er mengi óræðra talna ekki lokað.

Tengt efni

• Takmarkað mengi
• Þjappað mengi