Skoða frumkóða fyrir Gram-Schmidt reikniritið

[[Mynd:Gram–Schmidt process.svg|right|frame|Fyrstu tvö skref Gram-Schmidt reikniritsins.]]
'''Gram-Schmidt reikniritið''' er mikið notað [[reiknirit]] í [[línuleg algebra|línulegri algebru]] sem notað er til þess að [[þverstaðla]] mengi [[Vigur (stærðfræði)|vigra]] í gefnu [[innfeldisrúm]]i, oftast [[Evklíðskt rúm|Evklíðska rúmið]] <math>\mathbb{R}^n</math>. Reikniritið tekur endanlegt, [[línulegt óhæði|línulega óháð]] mengi vigra <math>S = \{v_1, ..., v_n\}</math> og skilar út þverstöðluðu mengi <math>S' = \{u_1, ..., u_n\}</math> sem spannar sama [[hlutrúm]]ið.

[[Reiknirit]]ið er nefnt eftir [[Jørgen Pedersen Gram]] og [[Erhard Schmidt]], en það kom áður fram í verkum [[Laplace]] og [[Cauchy]]. Í [[Lie-grúpufræði]] er aðferðin útvíkkuð með [[Iwasawa þáttun]].

Beiting Gram-Schmidt reikniritsins á [[dálkvigur|dálkvigra]] [[fylki (stærðfræði)|fylkis]] af fullri [[stétt (stærðfræði)|stétt]] gefur [[QR-þáttun]] þess.

== Reikniritið ==
Við skilgreinum [[ofanvarp]]svirkjann sem: 
:<math>\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}. </math>
Hann varpar vigrinum '''v''' hornrétt á vigurinn '''u'''.

Þá virkar reikniritið þannig:

{|
|width="20px"| ||<math>\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,</math> 
|width="20px"| ||<math>\mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over ||\mathbf{u}_1||}</math>
|-
|| ||<math>\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2, </math>
|| ||<math>\mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over ||\mathbf{u}_2||}</math>
|-
|| ||<math>\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3, </math>
|| ||<math>\mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over ||\mathbf{u}_3||}</math>
|-
|| ||align="center"|<math>\vdots</math>
|| ||align="center"|<math>\vdots</math>
|-
|| ||<math>\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k, </math>
|| ||<math>\mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over||\mathbf{u}_k||}</math>
|}
Mengið {'''u'''<sub>1</sub>, …, '''u'''<sub>''k''</sub>} er þá mengi þverstæðu vigrana, og stöðluðu vigrarnir {'''e'''<sub>1</sub>, …, '''e'''<sub>''k''</sub>} mynda [[þverstaðlaður grunnur|þverstaðlaðan grunn]] fyrir hlutrúmið.


{{Línuleg algebra}}