Gram-Schmidt reikniritið

Fyrstu tvö skref Gram-Schmidt reikniritsins.

Gram-Schmidt reikniritið er mikið notað reiknirit í línulegri algebru sem notað er til þess að þverstaðla mengi vigra í gefnu innfeldisrúmi, oftast Evklíðska rúmið ${ℝ}^n$. Reikniritið tekur endanlegt, línulega óháð mengi vigra $S=\{v_1,...,v_n\}$ og skilar út þverstöðluðu mengi $S^{\prime }=\{u_1,...,u_n\}$ sem spannar sama hlutrúmið.

Reikniritið er nefnt eftir Jørgen Pedersen Gram og Erhard Schmidt, en það kom áður fram í verkum Laplace og Cauchy. Í Lie-grúpufræði er aðferðin útvíkkuð með Iwasawa þáttun.

Beiting Gram-Schmidt reikniritsins á dálkvigra fylkis af fullri stétt gefur QR-þáttun þess.

Reikniritið

Við skilgreinum ofanvarpsvirkjann sem:

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐮}𝐯=\frac{⟨𝐯,𝐮⟩}{⟨𝐮,𝐮⟩}𝐮.$

Hann varpar vigrinum v hornrétt á vigurinn u.

Þá virkar reikniritið þannig:

	${𝐮}_1={𝐯}_1,$		${𝐞}_1=\frac{{𝐮}_1}{||{𝐮}_1||}$
	${𝐮}_2={𝐯}_2-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_1}{𝐯}_2,$		${𝐞}_2=\frac{{𝐮}_2}{||{𝐮}_2||}$
	${𝐮}_3={𝐯}_3-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_1}{𝐯}_3-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_2}{𝐯}_3,$		${𝐞}_3=\frac{{𝐮}_3}{||{𝐮}_3||}$
	$⋮$		$⋮$
	${𝐮}_k={𝐯}_k-\sum _{j=1}^{k-1}{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_j}{𝐯}_k,$		${𝐞}_k=\frac{{𝐮}_k}{||{𝐮}_k||}$

Mengið {u₁, …, u_k} er þá mengi þverstæðu vigrana, og stöðluðu vigrarnir {e₁, …, e_k} mynda þverstaðlaðan grunn fyrir hlutrúmið.

Snið:Línuleg algebra