Cauchyruna

Ferill Cauchyrunu $(x_n),$ sýndur með blárri línu, sem $n$ móti $x_n.$ Ef rýmið er endanlegt þá lokast ferillinn í endapunkti (markgildi).

Ferill sem er ekki Cauchyruna. Ystu mörk ferilsins nálgast ekki.

Cauchyruna er runa, nefnd eftir Augustin Louis Cauchy, þar sem fjarlægð tveggja samliggjandi staka minnkar eftir því farið er lengra frá fyrsta stakinu.

Þetta má setja fram sem $x_1,x_2,x_3,\dots$, í firðrúmi sem hefur þann eiginleika að fyrir sérhverja jákvæða rauntölu ε > 0 er til náttúrleg tala N, þ.a. fyrir alla vísa m og n sem eru stærri en N gildi:

$d(x_m,x_n)<\epsilon .$

þar sem $d(x_m,x_n)$ táknar fjarlægðina milli $x_m$ og $x_n$.

Í fullkomnu firðrúmi hefur sérhver Cauchyruna markgildi í firðrúminu. Cauchyrunur gegna mikilvægu hlutverki í grannfræði og fallafræði.