Þrepasönnun

Þrepasönnun eða þrepun er stærðfræðileg sönnunartækni sem notuð er til þess að sýna fram á að tiltekin fullyrðing sé sönn fyrir allar náttúrlegar tölur. Við þrepasönnun er notast við tvo grunneiginleika náttúrulegra talna:

1. Sérhvert mengi náttúrulegra talna hefur minnsta stak
2. Ef gefin yrðing P(n) er sönn fyrir eina tölu n er hún einnig sönn fyrir n+1.

Þrepasönnun er unnin í þremur skrefum:

1. Sýna fram á að fullyrðingin standist fyrir n = 0
2. Áætla að fullyrðingin sé sönn fyrir n = m
3. Sýna fram á að það sama gildi fyrir n = m + 1

Gott er að líkja þessu við domino rallý. Ef að við sýnum fram á að fyrsti dominóinn detti, þá getum við áætlað að sá næsti muni falla, og þá getum við sýnt fram á að þeir muni allir detta.

Dæmi

Gerum ráð fyrir því að við viljum sanna yrðinguna:

$0+1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

fyrir allar náttúrlegar tölur n. Köllum rökyrðinguna $P(n)$, og getur hún skilað sönnu eða ósönnu gildi.

Sönnun

Skref 1

Sönnum að þetta gildi fyrir $n=0$.

Þar sem að summa fyrstu 0 náttúrlegu talnanna er 0, og $\frac{0(0+1)}{2}=0$, telst þetta sannað.

P(0) = satt

Þó er umdeilt hvort 0 sé tekin með í mengi náttúrulegra talna en á sama hátt og ofan má sýna fram á að yrðingin gildir um $n=1$.

Skref 2

Við áætlum nú að yrðingin sé sönn fyrir n = m, þ.e.

$0+1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$

Skref 3

Ef að við leggjum $m+1$ við báðar hliðar fáum við:

$1+2+\cdots +m+(m+1)=\frac{m(m+1)}{2}+(m+1)$

Með algebrulegum umreikningi fæst:

$=\frac{m(m+1)}{2}+\frac{2(m+1)}{2}=\frac{(m+2)(m+1)}{2}$

þar af leiðir

$1+2+\cdots +(m+1)=\frac{(m+1)((m+1)+1)}{2}$

sem er yrðingin fyrir $n=m+1$. ATH að þetta hefur ekki verið sannað, heldur eingöngu hefur verið lögð fram fullyrðingin að P(m) = satt, og að þar af leiði að P(m+1) = satt. Við höfum með öðrum orðum sýnt fram á að yrðingin P(m+1) hljóti að standast ef að yrðingin P(m) stenst:

$P(m)\Rightarrow P(m+1)$

Við fáum niðurstöðu með því að sýna að þetta gildi fyrir allar náttúrlegar tölur n:

1. Þar sem að P(0) er satt, gildir að P(1) sé einnig satt.
2. Með P(1) leiðir P(2).
3. ... o.s.frv.

$◻$ þ.s.s.á.

Tenglar

• Snið:Vísindavefurinn