Heildun með innsetningu

Heildun með innsetningu (eða innsetningaraðferð) er aðferð við heildun sem felur í sér að "fela" hluta fallsins undir nýrri breytu. Fallið er svo heildað með þekktri aðferð og breytunni skipt út fyrir upprunalega gildið.

$\int \frac{5}{4+5x}dx=\int \frac{1}{t}dt=\ln (t)+C=\ln (4+5x)+C$

Í dæminu hér að ofan er breytistærðin t sett inn í staðin fyrir gildið 4 + 5x. t er svo diffruð til að skipta út dx: dt = t' = (4 + 5x)' = 5dx.

Þessi aðferð er oft notuð til að koma föllum á form sem er þekkt og þægilegt að heilda.

$\int \frac{8x}{16x^4+8x^2+2}dx=\int \frac{8x}{1+(4x^2+1{)}^2}dx=\int \frac{1}{1+t^2}dt=\arctan (t)+C=\arctan (4x^2+1)+C$

Hérna er t = 4x² + 1 og þannig dt = 8x dx. Þessi aðferð hentar einkar vel hér til að einfalda annars illa útlítandi dæmi.

Innsetningaraðferð er hægt að nota við ákveðin heildi líkt og óákveðin.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}8e^{8x}dx=\underset{0}{\overset{8}{\int }}{e}^{t}dt={\left[e^t\right]}_0^8=e^8-1$

Athugið að með ákveðin heildi er óþarfi að setja upprunalegu stærðina inn aftur, svo framarlega sem útgildunum(?) sé breytt þannig að miðað sé við nýja breytistærð. Í dæminu hér að ofan er t = 8x svo efra markið breytist úr 1 yfir í 8.