Meðalgildissetningin

Fyrir sérhvert fall, sem samfellt er á bilinu [a, b] og diffranlegt á bilinu (a, b) er til minnst eitt gildi, c (eða t) á bilinu (a, b) þannig að sniðillinn sem tengir saman endapunkta bilsins [a, b] sé samsíða snertilínu við f(x) í x = c = t.

Meðalgildissetningin er mikilvæg setning í örsmæðareikningi sem segir í stuttu máli að snertill þjáls ferils á gefnu bili er í einhverjum punkti samsíða sniðli fallsins. Lagrange setti regluna fram á 18. öld, en Cauchy setti hana stuttu síðar fram í almennara formi.

Hægt er að túlka regluna á eftirfarandi hátt: Ef bíl er ekið 100 kílómetra vegalengd á klukkustund þá hefur bílinn farið yfir á 100km/klst að meðaltali. Samkvæmt því ætti hann á einhverjum tímapunkti að hafa ekið á nákvæmlega hraðanum 100km/klst. Þ.e. ef hann hefur ekki haldið nákvæmlega hraðanum 100km/klst alla leið hlýtur hann að hafa keyrt hægar en 100km/klst stundum og stundum hraðar.

Almennt séð segir setningin að þegar maður hefur fall f : [a, b] → R sem er samfellt á lokaða bilinu [a, b] og deildanlegt á opna bilinu (a, b), þá er til eitthvert c á milli a og b þ.a.

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Hérna táknar $f^{\prime }(c)$ afleiðu fallsins f í punktinum c og $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ táknar meðal breytingu á fallinu yfir bilið [a, b] eins og beina línan sýnir á sýnimyndinni til hægri.

Til eru mismunandi útgáfur af þessari setningu og eru þær listaðar hér fyrir neðan.

Meðalgildisregla Cauchy

Myndræn túlkun á reglunni.

Gerum ráð fyrir að f og g séu deildanleg föll á bilinu [a,b] og að g'(x) sé aldrei núll. Þá er til t ∈ ]a,b[ þannig að:

$\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Sönnun

Sönnunin byggir á skilning á deildun og reglu Rolles.

Skilgreinum nýtt fall G(x):

$G(x)=(g(b)-g(a))(f(x)-(fa))-(g(x)-g(a))(f(b)-f(a))$

Þar sem G(a)=0 og G(b)=0 er til tala t ∈ ]a,b[ svoleiðis að G'(t)=0. Nú er G'(x):

$(g(b)-g(a))f^{\prime }(t)-g^{\prime }(t)(f(b)-f(a))=0\iff (g(b)-g(a))f^{\prime }(t)=g^{\prime }(t)(f(b)-f(a))$

Látum x=t og við fáum:

$G^{\prime }(t)=(g(b)-g(a))f^{\prime }(t)-g^{\prime }(t)(f(b)-f(a))$

Þar sem g' er aldrei núll á bilinu ]a,b[ og g(a) ≠ g(b) getum við deilt og fengið:

$\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

QED

Meðalgildisregla Cauchy's er einnig stundum kölluð útvíkkaða meðalgildissetning.

Tenglar

• Snið:Vísindavefurinn