Regla Sarrusar

Regla Sarrusar: heilar hornalínur - óheilar hornalínur

Regla Sarrusar (enska Sarrus' rule eða Sarrus' scheme) er aðferð notuð til að reikna ákveðu 3×3 fylkis. Hún er nefnd í höfuðið á franska stærðfræðinginum Pierre Frédéric Sarrus.

Ef 3x3 fylkið $M=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$ er tekið sem dæmi þá væri hægt að reikna ákveðu þess með eftirfarandi skema:

Endurtaka skal fyrstu tvo dálka fylkisins fyrir aftan þriðja dálkinn, svo fylkið hafi 5 dálka allt í allt. Leggðu svo saman margfeldi skálínanna sem fara niður (heila skálínan) og dragðu frá margfeldi skálínunnar sem fer upp (óheila skálínan). Úr þessu fæst:

$|M|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{32}{a}_{23}{a}_{11}-a_{33}{a}_{21}{a}_{12}$

Líkt skema sem byggir á skálínum virkar fyrir 2×2 fylki: $|M|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}$

Dæmi

2×2 fylki

Fyrsta dæmið

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 5\\ 7& 1\end{array}\right)$

Þá er margfeldi heilu skálínunnar $(-2)\times 1$ eða $-2$ og margfeldi óheilu skálínunar er $7\times 5$ sem er jaft og $35$. Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst $-2-35$:

$|A|=\left|\begin{array}{cc}-2& 5\\ 7& 1\end{array}\right|=-2-35=-37$

og því er ákveða fylkisins A $-37$.

Annað dæmið

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& -14\end{array}\right)$

Þá er margfeldi heilu skálínunnar $1\times (-14)$ eða $-14$ og margfeldi óheilu skálínunar er $5\times 0$ sem er auðvitað $0$. Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst $-14-0$:

$|B|=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& -14\end{array}\right|=-14-0=-14$

og því er ákveða fylkisins B $-14$.

3×3 fylki

Sem dæmi má taka 3×3 fylkið

$C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 5\\ 6& 4& 2\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$

Og þá er margfeldi skálínanna sem voru heilar laggðar saman þar sem sú fyrsta er $(-1)\times 4\times 1$ eða $-4$, sú önnur er $3\times 2\times (-2)$ sem er jaft og $-12$ og sú síðasta er $5\times 6\times 5$ sem er $150$. Svo er margfeldi óheilu skálínanna dregnar frá, en fyrsta skálínan er $(-2)\times 4\times 5$ eða $-40$, sú önnur er $5\times 2\times (-1)$ eða $-10$ og sú síðasta er $1\times 6\times 3$ eða $18$.

$|C|=\left|\begin{array}{ccc}-1& 3& 5\\ 6& 4& 2\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$

og

$|C|=((-1)\times 4\times 1+3\times 2\times (-2)+5\times 6\times 5)-((-2)\times 4\times 5+5\times 2\times (-1)-1\times 6\times 3)$

sem er jafnt og

$|C|=(-4-12+150)-(-40-10+18)=(134)-(-32)=134+32=166$

og því er ákveða fylkisins C jöfn $166$.

Heimildir

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, P.145 (Þýska)
• Sarrus' rule at Planetmath (Enska)