Samantekt

Samantekt er í stærðfræði aðferð til þess að reikna svarið við spurningunni „á hve marga vegu get ég valið r stök úr n staka mengi?“. Samantekt r hluta kallast r-samantekt, og er óraðað val r hluta úr safninu.

Reiknireglan er leidd út frá margföldunarreglunni og segir að þar sem velja má $n$ hluti úr $n$ staka mengi með óröðuðum hætti á $n!$ vegu, þá gildi að hægt sé að velja $r$ hluti úr $n$ staka mengi á

$\frac{n!}{r!(n-r)!}$

mismunandi vegu, en það er skrifað á ýmsa vegu: $C(n,r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=nCr=\frac{n!}{r!(n-r)!}$. Rithátturinn $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$ er algengastur, en hann er notaður í tvíliðureglunni til þess að tákna stuðul við hvern lið, og er þetta því einnig kallað tvíliðustuðull.

Samantektir koma einnig fyrir í Pascal-þríhyrningnum, ásamt ýmsum fléttufræðilegum reglum.

Sönnun

Samantektir eru náskyldar umröðunum, og ein einfaldasta aðferðin til þess að sanna samantektir er að segja:

Hægt er að finna r-umraðannir með því að reikna r-samantekt og margfalda það með fjölda hugsanlegra slíkra samantekta. Þá gildir:

$P(n,r)=C(n,r)\cdot P(r,r)$

sem gefur okkur:

$C(n,r)=\frac{P(n,r)}{P(r,r)}=\frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{\frac{r!}{(r-r)!}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$