Sennileikametill

Í tölfræði er sennileikametill fall sem metur sennilegt gildi á tilteknum stika, gefið tiltekin gögn. Dæmi um algenga sennileikametla eru formúlur sem gefa meðaltal og staðalfrávik.

Formleg framsetning

Látum $x_1,x_2,...,x_n$ vera úrtak úr líkindadreifingu $F_{\theta }$ sem er skilgreint upp að vigri óþekktra gilda, $\theta$. Þá er $f$ sennileikametill fyrir $\theta$ og mat okkar á gildi þess, $\hat{\theta }$ er $\hat{\theta }=f(x_1,x_2,...,x_n)$.

Dæmi

Látum $x_1,x_2,...,x_n$ vera mælingar af fjölda mínútna sem viðskiptavinir veitingahúss þurfa að bíða eftir matnum sínum frá því að þeir panta hann. Við getum gert ráð fyrir því að gögnin séu Poissondreifð, $x_n\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}(\lambda )$ en við vitum ekki hver stikinn $\lambda$ er.

Við viljum því smíða sennileikametil fyrir $\lambda$. Við vitum að dreififall Poisson dreifingar er

$\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$, með $k\in {\mathbb{N}}_0$

Í raunverulegu veitingahúsi væru $x_1,...,x_n$ háðar hvor annarri að einhverju leyti, vegna þess að sami kokkurinn þarf að sinna þeim öllum og fleiri pantanir á stuttum leiða af sér lengri biðtíma yfir heildina. En hér gerum við ráð fyrir fullkomnu veitingahúsi þar sem $x_1,...,x_n$ eru óháðar. Þá er samdreififall mælinganna:

$f(x_1,x_2,...,x_n)$

$=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)$

$L(\lambda )=\prod _{i=1}^n\frac{e^{-\lambda }{\lambda }_i^x}{x_i!}$

$=e^{-n\lambda }\frac{{\lambda }^{\sum _{i=1}^n{x}_i}}{\prod _{i=1}^n{x}_i!}$

Nú tökum við lógrann af þessu falli:

$\ln (L(\lambda ))=\ln \left(e^{-n\lambda }\frac{{\lambda }^{\sum _{i=0}^n{x}_i}}{\prod _{i=1}^n{x}_i!}\right)$

$=-\lambda n+\sum _{i=1}^n{x}_i\ln (\lambda )-\ln \left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)$

Og svo deildum við það með tilliti til óþekkta stikans $\lambda$:

$\frac{dL}{d\lambda }=\frac{d}{d\lambda }(-\lambda n+\sum _{i=1}^n{x}_i\ln (\lambda )-\ln \left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right))=-n+\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{1}{\lambda }$

Nú stillum við afleiðuna sem 0 til að hámarka hana:

$0=-n+\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{1}{\lambda }$

$\hat{\lambda }=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$