Brotaregla

Brotaregla eða hlutfallsregla er regla í örsmæðareikningi til að finna afleiðu sem er kvóti (hlutfall) tveggja annarra falla, sem eru diffranleg.

Ef hægt er að skrifa fallið $f(x)$ sem

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

þar sem $h(x)$ ≠ $0$, þá segir reglan að afleiðan af $g(x)/h(x)$ jafngildi:

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}.$

Það er að segja að ef öll $x$ í einhverju opnu mengi sem innihalda töluna $a$ fullnægja því að $h(x)$ ≠ $0$; og að $g^{\prime }(a)$ og $h^{\prime }(a)$ séu bæði ti þá er $f^{\prime }(a)$ til og jafngildir:

$f^{\prime }(a)=\frac{g^{\prime }(a)h(a)-g(a)h^{\prime }(a)}{[h(a){]}^2}.$

Dæmi

Dæmi 1

Til að finna afleiðuna af

$f(x)=\frac{2}{x+1}$

þar sem við segjum að

$g(x)=2$

$h(x)=x+1$

en þá er afleiðan af $g(x)$ núll, og afleiðan af $h(x)$ $h^{\prime }(x)=1$.

Afleiðan af $f(x)$ er þá ákveðin á eftirfarandi hátt:

$f^{\prime }(x)=\frac{(0\cdot (x+1))-(2\cdot 1)}{{(x+1)}^2}=\frac{-2}{(x+1{)}^2}=\frac{-2}{x^2+2x+1}$

og þá sést að afleiðan af $f(x)$ sé $\frac{-2}{x^2+2x+1}$.

Dæmi 2

Afleiðan af $(4x-2)/(x^2+1)$ þar sem við segjum að

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^2+1$

er:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x-2)}{x^2+1}\right]& =\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}& =\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$

Afleiða $\sin (x)/x^2$ (þegar $x$ ≠ 0) er hliðstæða dæmisins að ofan og jafngildir:

$\frac{\cos (x)x^2-\sin (x)2x}{x^4}$

Dæmi 3

Annað dæmi er:

$f(x)=\frac{2x^2}{x^3}$

þar sem við segjum að

$g(x)=2x^2$

$h(x)=x^3$

en þá er afleiðan af $g(x)$ jöfn $g^{\prime }(x)=4x$ og afleiðan af $h(x)$ jöfn og $h^{\prime }(x)=3x^2$.

Afleiðan af $f(x)$ er þá ákveðin á eftirfarandi hátt:

$f^{\prime }(x)=\frac{(4x\cdot x^3)-(2x^2\cdot 3x^2)}{{\left(x^3\right)}^2}=\frac{4x^4-6x^4}{x^6}=\frac{-2x^4}{x^6}=-\frac{2}{x^2}$

Hægt er að athuga þetta með því að nota veldisvísaregluna og veldisregluna:

$f(x)=\frac{2x^2}{x^3}=\frac{2}{x}=2x^{-1}$

og þegar maður diffrar $f(x)=2x^{-1}$ fæst:

$f^{\prime }(x)=-2x^{-2}=-\frac{2}{x^2}$.

Tengt efni

• Keðjuregla
• Margfeldisregla
• Reciprocal rule
• Mismunahlutfall, mismunakvóti