Afleiða (stærðfræði)

Snið:Örsmæðareikningur Afleiða falls af rauntölubreytistærð er mælikvarði á hve hratt fallgildið (úttak fallsins) breytist með tillit hvernig breytistærð (inntak fallsins) þess er hnikað til. Afleiður eru undirstöðuverkfæri örsmæðareiknings og koma mikið fyrir í ýmsum vísindagreinum eins og eðlisfræði. Dæmi um eðlisfræðilega hagnýtingu er að afleiðan af staðsetningu hreyfandi hlutar m.t.t. tíma er hraði hlutarins, þ.e.a.s. hve hratt staðsetningin hlutarins breytist þegar tíminn líður á.

Afleiða falls af einni breytistærð fyrir valið inntaksgildi, þegar það er til, er hallatala snertilsins á feril fallsins í þeim punkti. Snertillinn er besta línulega nálgunin á fallinu nær þessu inntaksgildi. Vegna þess er afleiða oft lýst sem augnablikshraði, þ.e.a.s. hlutfallið milli augnabliksbreytingu í háðu breytunni (fallagildis) og augnabliksbreytingu óháða breytunnar (breytistærðar).

Afleiður falla eru fundin með aðgerð sem kallast deildun (líka oft kölluð diffrun). Öfuga aðgerðin kallast öfug deildun (óákveðin heildun), og snýst um að finna stofnfall. Undirstöðusetning örsmæðareiknings tengir saman stofnföll og heildun. Deildun og heildun eru tvær grunnmeginaðferðir í örsmæðareikningi með einni breytistærð.

Skilgreining

Rithættir

Tveir mismunandi rithættir eru venjulega notaðir fyrir afleiðureikning. Þessir rithættir eru Leibniz rithátturinn sem er kenndur við Gottfried Wilhelm von Leibniz, og Lagrange rithátturinn sem er kenndur við Joseph-Louis Lagrange.

Í Leibniz rithættinum er örsmæðabreyting á $x$ er táknuð sem $dx$ og afleiðan af $y$ m.t.t. $x$ er skrifuð sem $\frac{dy}{dx}$ sem gefur til kynna hlutfall milli tveggja örsmæðastærða.

Í Lagrange rithættinum táknum við afleiðu fallsins $f$ m.t.t. breytistærðar $x$ sem $f^{\prime }(x)$ eða ${f_x}^{\prime }(x)$. Lagrange rithátturinn er stundum ranglega kenndur við Newton.

Formleg skilgreining

Látum $f$ vera raungilt fall skilgreint á opnu bilinu í kringum punktinn $a$. Ef eftirfarandi markgildi er til:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

þá er $f$ sagt vera deildanlegt (diffranlegt) í punktinum $a$ og afleiða $f$ í punktinum $a$ er jafngilt markgildinu. Þ.e.a.s.

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

þar sem $f^{\prime }(a)$ er notað til að tákna afleiðu $f$ í punktinum $a$ (Lagrange rithátturinn).

Hins vegar, ef markgildið er ekki til, þá er $f$ sagt vera ódeildanlegt (ódiffranlegt) í punktinum $a$ og að það sé ekki til afleiða fyrir $f$ í punktinum $a$.

Annað form markgildisins

Stundum eru afleiður skilgreindar með eftirfarandi markgildi í stað markgildisins sem er gefið í formlegu skilgreiningunni fyrir ofan:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Athugið að þetta markgildi er jafngilt markgildinu að ofan þ.a. skilgreiningarnar með þessu eða fyrra markgildinu eru jafngild.

Eiginleikar afleiða

Tengsl milli samfelldni og deildanleika falla

Ef fall $f$ er deildanlegt í punkti $a$, þá er það líka samfellt í punkti $a$.

Athugið hins vegar að það öfuga gildir ekki alltaf. Þ.e.a.s. ef fall $f$ er samfellt í punkti $a$, þá er það ekki endilega deildanlegt í punkti $a$. Til dæmis má nefna að algildisfallið $f(x)=|x|$ er samfellt en ekki diffranlegt í punkti $0$ og Weierstrassfallið sem er samfellt en ekki deildanlegt á öllum rauntalnaásnum.

Hærri-stigs afleiður

Látum $f$ vera deildanlegt fall og látum $f^{\prime }$ vera afleiða þess. Afleiða $f^{\prime }$ er rituð sem $f^{″}$ með rithætti Lagrange, ef afleiðan sjálf ef deildanleg, og kallast seinni-stigs afleiða $f$. Á sama hátt er afleiða seinni afleiðunnar rituð sem $f^{‴}$, ef seinni afleiðan er sjálf deildanleg, og kallast þriðja-stigs afleiða $f$. Þannig kolli af kolli má skilgreina $n$-ta stigs afleiðuna af $f$ sem afleiðuna af $(n-1)$-ta-stigs afleiðu $f$, ef hún er til, og hún er rituð sem $f^{(n)}$með rithætti Lagrange. Gefið að þær eru til, $f^{″},f^{‴},f^{(4)},f^{(5)},...,f^{(n-1)},f^{(n)}$eru kallaðar hærri-stigs afleiður.

Beygjuskilspunktar

Punktar þar sem seinni-stigs afleiða falls breytir um formerki kallast beygjuskilspunktur. Á beygjuskilspunktinum er seinni-stigs afleiðan annað hvort 0 eða ekki til. Á beygjuskilspunkti færist fall frá því að vera kúpt yfir í að vera hvelft, eða öfugt.

Reiknireglur

Hægt er að reikna afleiðu fall útfrá markgildisskilgreiningunni. Hins vegar er hægt að nýta sér styttri leiðir til að reikna afleiður með því að notfæra sér þekktar afleiður algengra falla ásamt deildunarreglum fyrir samsett föll.

Afleiður algengra falla

Veldaföll

Fallið $f(x)=x^r$ þar sem $r$ er rauntala hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}$.

Vísis- og lograföll

• Fallið $f(x)=e^x$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=e^x$.
• Fallið $f(x)=a^x$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=a^x\ln (a)$.
• Fallið $f(x)=\ln (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ fyrir öll $x>0$.
• Fallið $f(x)={\log }_a(x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln (a)}$ fyrir öll $x>0$.

Hornaföll

• Fallið $f(x)=\sin (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=\cos (x)$.
• Fallið $f(x)=\cos (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=-\sin (x)$.
• Fallið $f(x)=\tan (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$.

Andhverf hornaföll

• Fallið $f(x)=\arcsin (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ fyrir öll $x\in (-1,1)$.
• Fallið $f(x)=\arccos (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ fyrir öll $x\in (-1,1)$.
• Fallið $f(x)=\arctan (x)$ hefur afleiðu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$.

Deildunarreglur fyrir samsett föll

Fastareglan

Ef $f(x)$ er fasti, þá er $f^{\prime }(x)=0$.

Summureglan

Látum $f(x)=\alpha g(x)+\beta h(x)$ þar sem $\alpha$ og $\beta$ eru fastar. Þá er afleiðan $f^{\prime }(x)=\alpha g^{\prime }(x)+\beta h^{\prime }(x)$.

Margfeldisreglan

Látum $f(x)=g(x)h(x)$. Þá er afleiðan $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x)$.

Brotareglan

Látum $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$. Þá er afleiðan $f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}$ fyrir öll föll $g$ og $h$ þar sem $g(x)\ne 0$.

Keðjureglan

Látum $f(x)=g(h(x))$. Þá er afleiðan $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$.

Tenglar

• Kennsluefni um afleiður úr kúrsinum Stærðfræðigreiningu I sem er kenndur í HÍ Snið:Webarchive
• Hvað er heildun og deildun og hvernig nýtast þær í leik og starfi