Þéttifall

Þéttifall er samfellt fall sem er aldrei neikvætt og er samtals 1 þegar það er heildað yfir alla talnalínuna. Þéttifall lýsir líkindadreifingu samfelldrar slembistærðar. Heildi þéttifalls yfir bil á talnalínunni lýsir líkindum þess að slembistærðin lendi á því bili. Frægasta þéttifallið er normaldreifingin.

Normaldreifingin. Hvert einasta bil hefur vissar líkur.

• $f(x)\ge 0$ (fyrir hvert einasta x á talnalínunni)
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$
• $f$ er samfellt allstaðar á talnalínunni

Heildun þéttifalla má beita til að reikna líkindi á alls kyns atburðum. Til dæmis eru líkurnar á því að margfeldi gefnu slembistærðanna $P$ og $Q$, með þéttiföll $p$ og $q$, sé akkúrat gefna talan $a$ gefin með eftirfarandi heildi yfir talnalínuna:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)q\left(\frac{a}{x}\right)dx$

Ef $P$ og $Q$ eru handahófskenndar hliðarlengdir rétthyrnings mældar í metrum, með einhver skilgreind þéttiföll $p$ og $q$, þá eru líkurnar á því að flatarmál rétthyrningsins sé 5m²:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)q\left(\frac{5}{x}\right)dx$