Samfelldni

Samfelldni er mikilvægt hugtak í örsmæðareikningi og grannfræði. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.

Samfelldni raungilds falls

Raungilt fall $f:X\to Y$, sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið $\underset{x\to y}{\lim }f(x)$ sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.

$\underset{x\to y}{\lim }f(x)=f(y)$.

Samfelldni í grannrúmi

Fyrir almennt grannrúm gildir að fall $f:X\to Y$ er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi $U\in Y$ gildir að $f^{-1}(U)$ er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. $f(U)\subset V$.

Samfelldni í firðrúmi

Ef$(X,d_x),(Y,d_y)$ eru firðrúm er fallið $f:X\to Y$ sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. $d_x(x,y)<\delta \Rightarrow d_y(f(x),f(y))<ϵ$.

Fyrir venjulegu firðina d(x,y) = |x - y| á rauntalnaásnum er skilgreiningin jafngild sígildri "$ϵ-\delta$" skilgreiningu á samfelldni, sem sett er fram með eftirfarandi hætti:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x,y\in A:|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<ϵ.$