Innfeldisrúm

Innfeldisrúm er vigurrúm með innfeldi. Ef innfeldisrúmið er fullkomið m.t.t. firðar framkölluð frá innfeldinu, þá kallast það Hilbert-rúm.

Skilgreining

Látum $𝔽$ vera svið sem er annaðhvort rauntölusviðið $ℝ$ eða tvinntölusviðið $ℂ$.

Látum $V$ vera vigurrúm yfir $𝔽$ og látum $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ vera innfeldi skilgreint yfir vigurrúm $V$, þ.e.a.s. vörpun $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to 𝔽$ þ.a. eftirfarandi skilyrði eru uppfyllt fyrir öll $x,y,z\in V$ og $a\in 𝔽$:

1. $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$
2. $⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩$
3. $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
4. $⟨x,x⟩\in ℝ$ og $⟨x,x⟩\ge 0$
5. $⟨x,x⟩=0$ ef og aðeins ef $x=0$

Þá er $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, vigurrúm $V$ með innfeldi $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, kallað innfeldisrúm.

Dæmi

Rauntölur

Rauntalnamengið $ℝ$ ásamt innfeldi $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skilgreint sem $⟨x,y⟩:=xy$ fyrir öll $x,y\in ℝ$ er dæmi um innfeldisrúm.

Evklíðsk rúm

${ℝ}^n$ ásamt innfeldi $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skilgreint sem $⟨x,y⟩:=x^{T}y=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$ fyrir öll $x,y\in {ℝ}^n$ er dæmi um innfeldisrúm.

Tvinntöluhnitrúm

${ℂ}^n$ ásamt innfeldi $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skilgreint sem $⟨x,y⟩:=y^{H}x=\sum _{i=1}^n\overline{y_i}{x}_i$ fyrir öll $x,y\in {ℂ}^n$ er dæmi um innfeldisrúm.

Samfelld föll skilgreind á bili

Látum $C([a,b])$ vera mengi allra samfelldra tvinntölufalla skilgreind á bilinu $[a,b]$.

$C([a,b])$ er einnig vigurrúm og myndar innfeldisrúm með innfeldinu $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skilgreint sem $⟨f,g⟩:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\overline{g(t)}dt$ fyrir öll $f,g\in C([a.b])$.