Tvinntölur

Talnamengi í stærðfræði
$\mathbb{N}$	Náttúrlegar tölur
$\mathbb{Z}$	Heiltölur
$\mathbb{Q}$	Ræðar tölur
$ℝ\setminus \mathbb{Q}$	Óræðar tölur
$ℝ$	Rauntala
$ℂ$	Tvinntölur
$ℍ$	Fertölur
$𝕆$	Áttundatölur
$𝕊$	Sextándatölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar $i$ sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan $z$ skilgreind sem $z=x+iy$, þar sem $i$ er $i^2=-1$ og $y$ og $x$ eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum $ℂ$, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

$ℂ=\{(x+iy)|x,y\in ℝ\wedge i^2=-1\}$

Breyturnar $x$ og $y$ í tvinntölunni $x+yi$ eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, $ℝ$, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu $y\in ℝ$ og fastann $i^2=-1$. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í $ℂ$ eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í $ℂ$). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem $z=x_1+y_{1}i$ og $w=x_2+y_{2}i$ :

• Samsemd: $z=w$ þ.þ.a.a. $x_1=x_2$ og $y_1=y_2$
• Samlagning: $z+w=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$
• Margföldun: $zw=(x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$
• Deiling: $\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{|w{|}^2}=\frac{(x_1+y_{1}i)(x_2-y_{2}i)}{x_2^2+y_2^2}$

• Margföldunarandhverfa: Ef $zw=1$ eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:

$z=\frac{\overline{w}}{|w{|}^2}$ eða $w=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

Ef $z=x+yi$ er talan $\overline{z}=x-yi$ sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

$z+\overline{z}=2x$

$z-\overline{z}=2yi$

$z\overline{z}=|z{|}^2$

$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{z^2}{|z{|}^2}$

Hlutar tvinntölu

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar $z=x+yi$ er notað fallið $\mathrm{\Re }\left(z\right)$ og er það skilgreint svo:

$\mathrm{\Re }\left(z\right)=x=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$

Fyrir þverhlutann er fallið $\mathrm{\Im }\left(z\right)$ notað, en skilgreining þess er:

$\mathrm{\Im }\left(z\right)=y=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$

Í stað $\mathrm{\Re }\left(z\right)$ og $\mathrm{\Im }\left(z\right)$ er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að $\mathrm{\Im }\left(z\right)$ gefur rauntöluna $y$, ekki þvertöluna $yi$.

Lengd tvinntalna

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

$u=p+iq,|u|=\sqrt{p^2+q^2}$

Rithættir tvinntalna

Pólhnit

Pólhnit eru á forminu $(r,\theta )$, þar sem að $r$ lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og $\theta$ lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

$r=\sqrt{x^2+y^2}\wedge \theta =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$ fyrir tvinntöluna $x+yi$

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

$x=r\cdot \cos \left(\theta \right)$

$y=r\cdot \sin \left(\theta \right)$

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

${\left(r(\cos \left(\theta \right)+i\cdot \sin (\theta )\right)}^n=r^n(\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right))$

Margföldun og deiling virka þannig:

$(a,\alpha )(b,\beta )=(a\cdot b,\alpha +\beta )$

$\frac{(a,\alpha )}{(b,\beta )}=(\frac{a}{b},\alpha -\beta )$

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

$(r,\theta {)}^n=(r^n,n\cdot \theta )$

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

$\sqrt{(r,\theta )}=(r,\theta {)}^{\frac{1}{2}}=(\sqrt{r},\frac{\theta }{2})$

Veldi

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. $e^z$ þar sem að z er tvinntala.

$z=x+yi$

$e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}$

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu $e^x$, en um þverhlutann gildir að

$e^{yi}=cos(y)+isin(y)$

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

$z=r\cdot (\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$

má segja að:

$z=x+iy=(r,\theta )=r{e}^{i\theta }$

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

$z_1\cdot z_2=r_1{e}^{i{\varphi }_1}\cdot r_2{e}^{i{\varphi }_2}=r_1{r}_2\cdot e^{i{\varphi }_1+i{\varphi }_2}=r_1{r}_2\cdot e^{i({\varphi }_1+{\varphi }_2)}$

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:

$e^{i\varphi }=\cos (\varphi )+i\sin (\varphi )\wedge e^{-i\varphi }=\cos (\varphi )-i\sin (\varphi )$

$\cos (\varphi )=\frac{e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}\wedge \sin (\varphi )=\frac{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}$