Undirstöðusetning örsmæðareiknings

Undirstöðusetning örsmæðareikninings er setning sem tengir saman deildun og heildun. Undirstöðusetningin skiptist í tvo hluta.

Fyrri hluti setningarinnar, sem kallast stundum fyrsta undirstöðusetning örsmæðareiknings, segir að stofnfall af gefnu falli má finna með því að heilda fallið yfir breytilegt bil. Þetta gefur til kynna tilvist stofnfalla fyrir samfelld föll.

Seinni hluti setningarinnar, sem kallast stundum seinni undirstöðusetning örsmæðareiknings, segir að heildi falls f yfir ákveðið bil er hægt að reikna með afleiðu af einu stofnfalli f. Þessi hluti setningarinnar hefur mikilvægar hagnýtingar vegna þess að hún gefur okkur kleift að leysa ákveðin heildi (heildi yfir gefið bil) með því að finna stofnfall fallsins sem er verið að heilda með og nota það til að leysa heildið í staðinn fyrir að leysa ákveðna heildið með tölulegum aðferðum.

Undirstöðusetningin

Undirstöðusetninguna má skipta í tvo hluta. Fyrri hlutinn snýst um tengsl afleiða við stofnföll þeirra. Seinni hlutinn snýst um samböndin milli stofnfalla og ákveðin heildi (heildi yfir gefið fast bil).

Fyrsta undirstöðusetning örsmæðareiknings

Látum $f$ vera raungilt fall sem er samfellt á lokaða bilinu $[a,b]$. Látum $F$ vera fall skilgreint á eftirfarandi hátt fyrir öll $x$ í $[a,b]$:

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

Þá er $F$ samfellt á lokaða bilinu $[a,b]$, diffranlegt á opna bilinu $(a,b)$ og $F^{\prime }(x)=f(x)$ fyrir öll $x$ á opna bilinu $(a,b)$.

Athugið að þessi setning hefur þá afleiðingu að fall hefur stofnfall er fallið sjálft er samfellt.

Fylgisetning

Látum $f$ vera raungilt fall sem er samfellt á lokaða bilinu $[a,b]$. Látum $F$ vera stofnfall $f$ skilgreint á lokaða bilinu $[a,b]$. Þá er:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)-F(a)$

Athugið að þessi fylgisetning er stundum kölluð seinni undirstöðusetning örsmæðareiknings í ýmsum ritum og námskeiðum.

Seinni undirstöðusetning örsmæðareiknings

Þessi hluti setningunnar kallast stundum Newton-Leibniz frumsendan.

Látum $f$ vera raungilt fall skilgreint á lokaða bilinu $[a,b]$ og $F$ vera stofnfall $f$ á lokaða bilinu $[a,b]$, þ.e.a.s. $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Ef $f$ er Riemann-heildanlegt á lokaða bilinu $[a,b]$, þá er

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)-F(a)$

Seinni hluti undirstöðusetningarinnar er sterkari en fylgisetningin því hún gerir ekki ráð fyrir að $f$ sé samfellt fall.

Tenglar

• Námsefni um undirstöðusetninguna úr kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kenndur í HÍ Snið:Webarchive.