Gammafallið

Gammafallið á rauntalnaásnum.

Gammafallið er ósamfellt fall, táknað með Γ og skilgreint með eftirfarandi heildi:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

Með hlutheildun fæst:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$

Þegar n er náttúrleg tala má leiða eftirfarandi út:

$\mathrm{\Gamma }(1)=1$ og

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=\cdots =n!\mathrm{\Gamma }(1)=n!$

sem sýnir tengsl gammafallsins við aðfeldi, en líta má á gammafallið sem útvíkkun aðfeldis yfir tvinntölurnar.

Gammafallið er venslað zetufalli Riemanns með eftirfarandi jöfnu:

$\zeta (z)\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^{z-1}}{e^u-1}\mathrm{d}u,$

sem gildir fyrir Re(z) > 1.

Gammafallið í tvinntalnasléttunni

Carl Friedrich Gauss notaði annan, einfaldari rithátt fyrir það, sem í dag nefnist gammafallið, nefnilega:

$\mathrm{\Pi }(n)=n!$