Zetufall Riemanns

Zetufallið í tvinntalnasléttunni

Zetufall Riemanns, táknað með ζ(s), er tvinngilt fall með tvinntölubreytu s, sem skilgreint er á tvinntalnasléttunni, nema þar sem raunhluti breytunnar er einn.

Zetufallið er skilgreint þannig, fyrir Re(s) > 1:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

en mögulegt er að útvíkka það yfir alla tvinntalnasléttuna, þar sem Re(s) ≠ 1. Ofantalin framsetning Zetufallsins er sértilvik af Dirichlet-röð með a_n = 1.

Útvíkkun á tvinntalnasléttunni

Útvíkkun zetufallsins á allri tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) ≠ 1 gefur:

$\zeta (s)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s)}{2\pi i}\underset{+\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(-x{)}^s}{e^x-1}\frac{\mathrm{d}x}{x},$

þar sem heildað er meðfram jákvæða hluta x-ássins, einu sinni umhverfis núllpunktinn, sem einnig rita á forminu

$\zeta (s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(k+1{)}^{-s}.$

Zetufallið sett fram með margfeldum Eulers

Leonhard Euler, setti fram eftirfarandi samband fyrir rauntölu s > 1:

$\begin{array}{cc}\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^s}& =\prod _{p\text{ primtala}}\frac{1}{1-p^{-s}}\\ & =(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots )(1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\cdots )\cdots (1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\cdots )\cdots ,\end{array}$

þar sem p er frumtala (prímtala).

(Með því að setja s = 1 fæst umhverfuröð.)

Riemann sýndi af röðin hér að ofan er samleitin fyrir allar tvinntölur s með Re(s) > 1. Gefa má eftirfarandi samband fyrir umhverfu zetufallsins:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\prod _p(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)n^{-s}$

þar sem μ er Möbiusfallið.

Zetufallið á tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) < 0

Eftirfarandi jafna gildir á hálfsléttunni Re(s) < 0 :

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$,

þar sem Γ táknar gammafallið.

Afleiða zetufallsins

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s},$

þar sem Λ táknar Mangoldtsfallið.

Núllstöðvar zetufallsins

Zetufallið hefur engar núllstöðvar á hálfsléttunni Re(s) > 1, en á hálfsléttunni Re(s) < 0 hefur zetufallið núllstöðvarnar s = -2n, þar sem n er náttúrleg tala. Aðrar núllstöðvar, sem eru óendanlega margar, liggja á borðanum 0 < Re(s) < 1, samhverft um ásana Im(s) = 0 og Re(s) = ½. Ósönnuð tilgáta Riemanns segir að allar "áhugaverðar" núllstöðvar liggi á línunni Re(s) = ½.

Tengsl zetufallsins við frumtölur

Talið er að zetufallið geti gefið mikilvægar upplýsingar um dreifingu frumtalna.