Mangoldtsfallið

Mangoldtsfallið eða fall von Mangoldts er heiltölufall, sem kemur við sögu í talnafræði.

Skilgreining

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{ef }n=p^k\text{ fyrir primtolu }p\text{ og heiltolu }k\ge 1,\\ 0& \text{annars.}\end{array}$

Fall von Mangolds uppfyllir eftirfarandi:

$\log n=\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d),$

þar sem summan er yfir alla þætti d heiltölunnar n.

Tengsl við Dirichletraðir

Mangoldtsfallið er nátengt föllum, sem skilgreind eru með Dirichletröðum, t.d.

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$

þar sem ζ er Zetufall Riemanns og Re(s) > 1.

Afleiða lograns af zetufallinu verður þá

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$