Staðall (stærðfræði)

Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði er tiltekið fall, táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V, þ.e. ||v|| eða |v|, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi.

Skilgreining

Látum $𝔽$ vera svið sem er annaðhvort rauntölusviðið $ℝ$ eða tvinntölusviðið $ℂ$. Látum $V$ vera vigurrúm yfir $𝔽$.

Staðall á $V$ er vörpun $\Vert \cdot \Vert :V\to ℝ$ sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

1. $\Vert x\Vert \ge 0$ fyrir öll $x\in V$
2. $\Vert x\Vert =0$ ef og aðeins ef $x=0$
3. $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$ fyrir öll $x\in V$ og fyrir öll $\alpha \in 𝔽$
4. $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ fyrir öll $x,y\in V$

Algengir staðlar vigurrúma

• Evklíðski staðllinn

$\Vert 𝐱{\Vert }_2:=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.$

er algengasti staðallinni í Rⁿ. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.

• 1-staðllinn

$\Vert 𝐱{\Vert }_1:=\sum _{i=1}^n|x_i|.$

• p-staðallinn

$\Vert 𝐱{\Vert }_p:={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)

• Óendanlegi staðallinn

$\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\max (|x_1|,\dots ,|x_n|).$

Línlegar varpanir

Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:

$\Vert A𝐱\Vert .$

Eiginleikar staðla

Tveir staðlar ||•||_α og ||•||_β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.

$C\Vert 𝐱{\Vert }_{\alpha }\le \Vert 𝐱{\Vert }_{\beta }\le D\Vert 𝐱{\Vert }_{\alpha }$

fyrir öll x í V.

Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru $l_1$, $l_2$ og $l_{\mathrm{\infty }}$ staðlarnir jafngildir í ${ℝ}^n$:

$\Vert 𝐱{\Vert }_2\le \Vert 𝐱{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert 𝐱{\Vert }_2$

$\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert 𝐱{\Vert }_2\le \sqrt{n}\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

$\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert 𝐱{\Vert }_1\le n\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

Tengt efni

• Banach-rúm
• Fullkomið mengi
• Staðlað vigurrúm