Logri

Logri (einnig nefndur lógariþmi, lógaritmi, sjaldnar lygri) fyrir ákveðna tölu x er það veldi sem þarf að hefja grunntölu lografallsins a í til að fá upprunalega töluna út. Lografallið er andhverfa veldisfallsins með jákvæðan veldisstofn a sem uppfyllir eftirfarandi aljöfnu:

${\log }_a(a^x)=x,$

Sem dæmi má nefna að logri tölunnar 1000 með grunntölu 10 er 3, þar sem 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000:

${\log }_{10}(1000)=3,$

Aðferðin við að finna logra, með grunn a, tölunnar x er jafngilt því að finna hvert veldi tölunnar a þarf að vera til að fá út x.

Náttúrlegur logri, táknað með ln, er reiknaður með grunntölunni e en tugalogri (venjulegur lygri), með grunntölunni 10.

Aljöfnur logra

Til eru mikilvægar aljöfnur sem tengja logra saman:

Margfeldi, kvóti, veldi og rót

Logri af margfeldi er jafn summu logra þeirra talna sem eru margfaldaðar saman, logri kvóta er jafn mismuni logra deilistofns kvótans og logra deili kvótans, logri af n-ta veldi tölu er n margfaldað með logra tölunnar sjálfrar og logri n-tu rótar tölu er logri tölunnar deilt með n, eftirfarandi gildir fyrir allar tegundir lografalla.

	Formúla	Dæmi
margfeldi	${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	${\log }_3(243)={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_3(9)+{\log }_3(27)=2+3=5$
kvóti	${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	${\log }_2(16)={\log }_2\left(\frac{64}{4}\right)={\log }_2(64)-{\log }_2(4)=6-2=4$
veldi	${\log }_b(x^p)=p{\log }_b(x)$	${\log }_2(64)={\log }_2(2^6)=6{\log }_2(2)=6$
rót	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_b(x)}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

Umreikningur milli grunntalna

Ef reikna skal lografall af x með grunntöluna k log_k(x) yfir á grunntöluna b nægir að deila í það með log_k(x):

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_k(x)}{{\log }_k(b)}.$

Þar sem reiknivélar reikna oftast logra með grunntölu 10 eða e getur verið hentugt að snara þeim yfir á grunntölu b að eigin vali, en það er gert með:

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{{\log }_{10}(b)}=\frac{{\log }_e(x)}{{\log }_e(b)}.$

Eiginleikar lograns

Aðeins er hægt að taka logra af jákvæðri tölu því grunnur lograns er alltaf jákvæð tala og sama í hvaða veldi þú setur jákvæða tölu, aldrei er hægt að fá neikvæða tölu út.

Áður en tölvur komu til var logri með grunntölu a reiknaður með því að leggja saman óendanlegar raðir með ákveðinni nákvæmni. Þetta gerði reikning með logra afskaplega langann og leiðinlegan svo brugðið var á það ráð að búa til langar töflur sem innihéldu útreiknuð gildi fyrir algengustu grunntölurnar. Vegna reiknireglna 1 og 3 hér að ofan þurfti aðeins að reikna þannig töflur upp að fyrsta tugi. Tökum dæmi: til að reikna út log(123) var það skrifað sem

${\log }_{10}(1,23\cdot 100)={\log }_{10}(1,23)+{\log }_{10}(100)={\log }_{10}(1.23)+2$

þar sem log₁₀(100) = 2 og því þurfti aðeins að leita eftir log₁₀(1.23) í töflunni.

Lograkvarðar

• Bel-kvarði (algengasta eining desíbel)
• Birtustig
• Richterskvarði