Ferillengd

Ferillengd er lengd ferils og er alltaf stærri en núll, en getur verið óendaleg.

Skilgreining

Ferlillengd L er skilgreind með eftirfarandi ferilheildi:

$L:=\underset{ferill}{\overset{}{\int }}\mathrm{d}s,$

þar sem ds táknar „óendanlega lítinn bút“ af ferlinum og ferilheildið er reiknað eftir ferlinum.

Dæmi

Setjum að lýsa megi ferli í tvívíðri sléttu í með tvenndunum (x, y), þar sem x og y eru samfelld og deildanleg föll.

Stillum fyrst upp líkingunni fyrir „litla bútinn“ ds af ferlinum, þar sem við notum okkur reglu Pýþagórasar:

$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$ , sem gefur

$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2},$

en neikvæða rótin kemur vitaskuld ekki til greina, því ferillengd er alltaf stærri en núll.

Til að reika ferilheildið þarf að stika föllin x og y, t.d. með x := x(t) og y := y(t). Deilum því næst með dt og umritum:

$ds=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt$

þar sem yfirsettu punktarnir tákna fyrstu afleiður fallanna.

Innsetning gefur loks:

$L=\int \sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+f^{\prime }(t{)}^2}dt,$

þar sem notuð var stikunin x := t og y := f(t), en táknið ' merki fyrstu afleiðu fallsins f og ferillinn afmarkast af bilinu [a, b], þ.e. a ≤ t ≤ b.