Fjöldatala

Fjöldatala, fjöldi eða stétt er hugtak í mengjafræði, sem er mælikvarði á fjölda staka í tilteknu mengi M, oft táknuð með | M | eða card ( M ).

Stærðræðilegri framsetning á fjöldatölu teljanlegs mengis er að talan n er fjöldatala mengisins $A$ þá og því aðeins að til sé gagntækt fall f á hlutmengi náttúrulegra talna, þ.e. $f:A\to \{1,...,n\}$. Dæmi: talan $3$ fjöldatala mengisins $A=\{2,5,7\}$. Ef slík vörpun finnst ekki þá er mengið A sagt óteljanlegt.

Fjöldatala mengja með óendanlegan fjölda staka táknuð með hebreska tákninu $\mathrm{\aleph }$ (framburður alef). Fjöldatala mengi náttúrulegra talnan er táknuð með ${\mathrm{\aleph }}_0$, sem jafnframt er fjöldatala allra óendanlegra, teljanlegra mengja. Til eru óendanlega mörg talnamengi, sem hafa stærri fjöldatölu en ${\mathrm{\aleph }}_0$, en þau eru óteljanleg, t.d. mengi rauntalna, sem hefur fjöldataöluna ${\mathrm{\aleph }}_1$. (Fjöldatala mengis rauntalnanna er stundum nefnd fjöldatala samfellunnar, táknuð með $𝔠$.)

Augsljóslega gildir að ${\mathrm{\aleph }}_0$ < ${\mathrm{\aleph }}_1$, en almennt gildir um fjöldatölur óendanlegra mengja að ${\mathrm{\aleph }}_n$ < ${\mathrm{\aleph }}_m$, ef n < m. Samfellutilgátan segir að ekki sé til fjöldatala ${\mathrm{\aleph }}_x$, þ.a. ${\mathrm{\aleph }}_0$ < ${\mathrm{\aleph }}_x$ < ${\mathrm{\aleph }}_1$.

Ekki er til nokkurt mengi sem inniheldur allar hugsanlegar fjöldatölur, því veldismengi slíks mengis hefði hærri fjöldatölu en mengið sjálft. Með því að bæta fjöldatölu veldismengisins í mengi allra fjöldatalna, væri komið nýtt mengi með hærri fjöldatölu en uppaflega mengið og síðan koll af kolli.

Fjöldatala er stundum kölluð höfuðtala mengis.