Formerkisfall

Formerkisfallið.

Formerkisfall er ósamfellt fall sem tekur gildið $-1$ þegar breyta þess er neikvæð og $1$ þegar breyta þess er jákvæð.

Skilgreining

Þar sem talan núll hefur ekkert formerki er formerkisfall óskilgreint fyrir núll, en stundum er þó eftirfarandi skilgreining notuð, fyrir rauntölur x:

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{ef }x<0,\\ 0& \text{ef }x=0,\\ 1& \text{ef }x>0.\end{array}$.

Einnig má nota Heavisidefallið $H(x)$ til að skilgreina formerkisfall (nema þegar $x=0$):

$\mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}=\frac{d|x|}{dx}=2H(x)-1$

þar sem $|x|$ er algildi tölunnar $x$.

Eiginleikar

Hægt er að tákna allar rauntölur sem margfeldi tölugildis þeirra og formerkisfallsins:

$x=\mathrm{sgn}(x)\cdot |x|.(1)$

Hægt er að sjá frá jöfnu (1) að þegar skilgreiningin hér að ofan er notuð þá fæst

$\mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}.(2)$, nema þegar x = 0.

Formerkisfallið er líka afleiða tölugildisins:

$\frac{d|x|}{dx}=\mathrm{sgn}(x).$, en er þó óskilgreint fyrir x = 0.

Tvinntalnaformerkisfall

Hægt er að rita formerkisfallið fyrir tvinntölur:

$\mathrm{sgn}z=\frac{z}{|z|}$

fyrir hvert z ∈ $ℂ$ nema þegar z = 0. Formerkisfall sérhverrar tvinntölu z er sá punktur á einingarhringnum í tvinnsléttunni sem er næst z. Þá, þegar z ≠ 0 gildir:

$\mathrm{sgn}z=\exp (i\arg z),$

þar sem arg z er fasahorn z.