Ákveða

Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun $D:{ℝ}_n^n\to ℝ$, sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n-víðum vigrum) yfir í rauntölu, oft táknuð með det. Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n er til nákvæmlega ein ákveða á mengi n×n fylkja, sem ákvarðast ótvírætt útfrá eftirtöldum eiginleikum:

1. Vörpunin er línuleg í hverjum vigri.

   $D({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_i+{𝐯}_i^{\prime },\dots ,{𝐯}_n)=D({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_i,\dots ,{𝐯}_n)+D({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_i^{\prime },\dots ,{𝐯}_n),D({𝐯}_1,\dots ,c{𝐯}_i,\dots ,{𝐯}_n)=$$cD({𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n)$,

þar sem c er tala.

1. Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:

   $D({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_i,\dots ,{𝐯}_j,\dots ,{𝐯}_n)=-D({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_j,\dots ,{𝐯}_i,\dots ,{𝐯}_n)$

2. Sé $ℰ=\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ venjulegur grunnur fyrir ${ℝ}^n$ er ákveða fjölskyldunnar 1:

   $D(ℰ)=1$

Ákveðan $D({𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n)$ er táknuð $\det \left|\begin{array}{c}-{𝐯}_1-\\ ⋮\\ -{𝐯}_n-\end{array}\right|$

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A, og ákveðan af A er $\det A$

Ákveður 2×2 fylkja

Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem $D(𝐱,𝐲)=\det \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$ fyrir vigrana $𝐱=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})$ og $𝐲=(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{d})$.

Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y.

Ákveður 3×3 fylkja

Notast er við reglu Sarrusar við að reikna út ákveðu 3×3 fylkis $A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$ er skilgreind sem

$det(A)=a\det \left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\det \left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\det \left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|$$=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$.

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.

Almennar reglur um ákveður

• $\det (A^c)=\det (A{)}^c$
• $\det AB=\det A\det B$
• $\det A\ne 0$ ef og aðeins ef A er andhverfanlegt fylki.
• Séu einhverjar tvær línur í A eins er $\det A=0$ (Sjá Hornalínugeranleiki og Reiknirit Gauss)
• Sé einhver lína í A með núll í öllum stökum er $\det A=0$
• Sé A n×n efra þríhyrningsfylki er $\det A=\prod _{i=1}^n{a}_{ii}$, þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
• $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$
• $\det A^{𝐓}=\det A$ (sjá bylt fylki)
• $\det A={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ þar sem að ${\lambda }_1...{\lambda }_n$ eru eiginvigrar A.
• $A=\frac{1}{\det A}{C}^{𝐓}$, þar sem C er hjáþáttafylki A.
• $\det A=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+b}{a}_{ib}\det A_{ib}=\sum _{i=1}^n{a}_{ib}{C}_{ib}$ $=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+b}{a}_{bi}\det A_{bi}=\sum _{i=1}^n{a}_{bi}{C}_{bi}$ fyrir fasta tölu b < n. Þá er $C_{xy}$ xy-hjáþáttur fylkisins A, og $A_{xy}$ er fylkið A þar þar sem að x-ta lína og y-ti dálkur hafa verið fjarlægð. $a_{xy}$ eru þá stakið í x-tu línu, y-ta dálki í A.

Tengt efni

• Regla Sarrusar